اعداد گنگ = Irrational numbers

 

اعداد گنگ = Irrational numbers

 اعداد در ریاضی یا گویا هستند یا گنگ .

مجموعه اعداد گویا + اعداد  گنگ را اعداد حقیقی می نامند .

در ریاضیات مجموعه اعداد گویا را با حرف Q نمایش می‌دهند.

اعداد گویا مجموعه‌ای شمارا است. این مجموعه، همچنین، زیرمجموعه‌ای از مجموعهٔ اعداد حقیقی است.

اعداد گنگ، یا  به عربی اعداد اصم، اعدادی حقیقی هستند که گویا نباشند، یعنی نتوان آن‌ها را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است.

مجموعه همه  اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و آن را با حرف R  نمایش میدهند.

اعداد گنگ چگونه به‌دست ما رسیده‌اند؟

اعداد صحیح  از تجربه‌های روزانه ما بدست آمده اند مثل شمارش اشیاء حیوانات ...و این اعداد نیازهای زندگی روزمره ما را برآورده می کنند و اجازه میدهند که  کمیت هایی از قبیل طول، وزن و زمان را اندازه بگیریم . (کمیت چیزی است که قابل کم و زیاد شدن باشد مثل قد و وزن و طول و عرض ... حجم )

ولی همیشه زندگی و کمیت های آن به این سادگی نیستند و گاهی برای برآوردن این احتیاجات لازم است  کسر‌ها را هم بلد باشیم .

مثلا بیشتر وقت ها  طولی شامل عده‌ی دقیقا صحیحی از واحدهای خطی نیست و مثلا ممکن است طول قد یک فرد 170 سانتی متر و چند میلی متر باشد !

. بنابراین، اگر عدد گویا را به‌صورت خارج‌قسمت دو عدد صحیح تعریف کنیم، p/q، که در آن q≠0 باشد،( یعنی مخرج کسر نباید صفر باشد)  این دستگاه اعداد گویا، از آن جا که شامل همه‌ی اعداد صحیح و کسرهاست، برای مقاصد عملی اندازه‌گیری، کافی خواهد بود

 

ریاضی‌دانان در قدیم تصور می‌کردند تمام نقاط این محور توسط اعدادگویا به‌کار گرفته می‌شوند. این تصور اشتباه بود

 اطلاع از این که نقاطی بر خط وجود دارند که متناظر با هیچ عدد گویایی نیستند، برای آنها غیر منتظره بود

 این کشف یکی از بزرگ‌ترین دستاوردهای فیثاغورس بود. فیثاغورسیان، به‌ویژه، نشان دادند که هیچ عدد گویایی نظیر نقطه p بر روی خط به‌طوری که فاصله op ا(اo را مبدا می گیریم) در آن مساوی قطر مربعی به طول واحد باشد، وجود ندارد. اکنون لازم بود اعداد جدیدی ابداع شوند که متناظر با چنان نقاطی باشند، و چون این اعداد نمی‎توانند گویا باشند اعداد گنگ نام یافتند. کشف آن‌ها یکی از برجسته‌ترین حوادث را در کل تاریخ ریاضیات مشخص می‌کند.

کشف وجود اعداد گنگ، برای فیثاغورسیان هم شگفت انگیز بود و هم باعث نگراتی و ناراحتی او شد

کشف اعداد گنگ باعث شد که نظریه  فیثاغورسی، که همه‌چیز را به اعداد صحیح وابسته می‌دانست، اشتباه از آب درآید.

ضمنا اعداد گویا با عقل هم سازگار نبودند چون عقل ما می گوید که هر کمیتی با یک عدد گویا قابل بیان است.

 همتای هندسی آن نیز همان قدر تکان‌دهنده بود، زیرا چه کسی می‌توانست در این تردید کند که به‌ازای هر دو قطعه خط مفروض می‌توان خط سومی، هر چند بسیار بسیار کوچک، پیدا کرد به‌طوری که به تعداد دفعات صحیح در هر یک از دو خط مفروض بگنجد؟

اما اینکه ریشه این اعداد گنگ از کجا پیدا شده است داستانش به بیش از دو هزار سال پیش و ماجرای قضیه مثلت قائم الزاویه فیثاغورث بر می گردد .

موضوع از این قرار است که یونانیان و شخص فیثاغورث اعتقاد عجیبی به نقش اعداد داشتند و اعداد و روابط آنها  را با پدیده­های جهان طبیعت مرتبط می دانستند

 تا آنجا که فیثاغورث و طرفدارانش ادعا می­کردند که اعداد سازنده جهان هستند و هر چیزی با عدد قابل بیان است. یکی از دلایل فروپاشی مکتب فیثاغورثیان این بود که هنگامی که میخواستند معروفترین قضیه خود یعنی  همان قضیۀ فیثاغورث را  بیان کنند با این پرسش مواجه می­شدند که اگر طول هر یک از ضلع­های مجاور زاویۀ قائمه برابر واحد باشد، طول وتر چه عددی می­شود؟

 و فیثاغورثیان که ادعا می­کردند اعداد سازنده جهان طبیعت هستند، حال نمی­توانستند آن عدد را بیان کنند.

عدد گُنگ یا اصم در دستگاه اعداد به‌صورت عددی حقیقی تعریف می‌شود که گویا نباشد، یعنی نتوان آن را به صورت کسری نوشت که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است. از معروفترین این اعداد می‌توان به عدد پی عدد نپر و و رادیکال 2 اشاره کرد

در واقع عدد گنگ یا اصم ، عدد اعشاری ای است که ارقام اعشاری آن بی پایان بوده ولی دوره گردش هم ندارد.

(تنها عددی که ممکن است رسم­پذیر نباشد عدد گنگ است.) تعیین اینکه عدد گنگی رسم­پذیر است یا خیر به معلومات و تکنیکهای ویژه­ای نیاز دارد که در مقاطع بالاتر مانند جبر 2 ارائه می­شود.

برای ساخت یک عدد گنگ کافیست بسط اعشاری این عدد، هیچ دوره­ تناوب یا دوره تکراری نداشته باشد. به این ترتیب می­توان بی­نهایت عدد گنگ ساخت.

در ریاضیات این گزاره که "هر عددی که گویا نباشد `گنگ است´ صخیخ نیست. اعدادی نیز وجود دارند که نه گویا هستند و نه گنگ. مانند " اعداد بی­نهایت کوچک". چند مثال از اعداد گنگ:  ,  , e , π , g و ... .

بسط­ دهی یک عدد گنگ نشان می­دهد که دارای ویژگی­هایی می­باشند:

1)بی­پایان هستند.

2)تکرار ناپذیر هستند، یعنی رقمهایشان الگویی غیر تکراری را نشان می­دهند.

چند اصل در مورد اعداد گنگ:

1)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گویا وجود دارد.

2)بین دو عدد گویا، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

3)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

قضیۀ هورویتز (Hurwitz theorem) :

هر عددی دارای تقریب­های "گویای" بی­نهایتی به شکل  است که در آن تقریب  دارای خطایی کمتر از  است.

طبقه بندی اعداد گنگ: اعداد گنگ را با توجه به چگونگی سختی محاسبه­اشان از طریق "تقریب" با اعداد گویا طبقه­بندی کرده­اند. به عبارت دیگر یک عدد گنگ از عدد گنگ دیگر، گنگ­تر است. به عنوان مثال عدد  دارای تقریب بهتری نسبت به عدد  است، پس  گنگ­تر از π است.

گنگ­ترین عدد گنگ عددی است که قبلا در هندسه شناخته شده است و به عدد گنگ طلائی g (Golden mean مشهور است.             

عدد g جواب معادله x2-x+1=0 است. عدد گنگ طلائی عبارت است از " قطر یک پنج ضلعی با اضلاع برابر یک". گنگی بسیار بالای این عدد باعث کاربردش در هند است که هنوز علت آن مشخص نیست. این عدد نقش مهمی در مباحث "زیباشناسی ریاضی" دارد.

عدد π:

عدد پی حدود چهار هزار سال پیش نیز کشف شده بود، ولی نام خاصی برای آن تعیین نشده بود و در آن زمان نمی دانستند که عدد پی، عددی گنگ است. یکی از نظریه ها راجع به مساحت دایره بوده است که نمایان گر آن است عدد پی را به صورت نامحسوسی کشف کرده بودند؛ این نظریه ی پاپیروس است که می گفت:

 

 اگر قطر دایره ای را به نه قسمت مساوی تقسیم کنیم و یک قسمت از آن را حذف کنیم، مربعی به ضلع آن، مساحتی برابر با مساحت آن دایره دارد. با این حساب عدد پی به صورت یک عبارت گویا و به صورت اعشاری تقریباً برابر است با "3.16" که این عدد خیلی به عدد پی نزدیک است و دقتی تا این حد در آن زمان بسیار جالب توجه است. البته این قبل از آن است که مشخص شود عدد پی گنگ است.

 

عدد پی π همان عددی است که آن را از نسبت محیط دایره به قطر آن بدست می آورند در سال 1761 لامبرت (Lambert) ریاضیدان سوئدی ثابت کرد که عدد π گنگ است.

همچنین لایدمن (Lindeman) ثابت کرد که عدد π یک عدد جبری نیست یعنی نمی­تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند.

اولین بار به طور رسمی ارشمیدس روشی را برای محاسبۀ تقریبی عدد π بیان کرد:  

این کشف که عدد π یک عدد گنگ است به سالها تلاش ریاضیدانان برای تربیع دایره پایان داد.

عدد e:

اویلر ثابت کرد e عددی گنگ است و دارای" کسرهای مسلسل" نامحدود ساده است. ژوزف لیدویل ثابت کرد e جواب "معادله درجه دوم با ضرایب صحیح" نیست. همچنین چارلز هرمیت ثابت کرد عدد گنگ e، عددی غیر جبری است.

اجتماع اعداد گویا وگنگ، اعداد حقیقی است. مجموعه اعداد گنگ مجموعه­ای ناشمارا است. جورج کانتور  ریاضیدان آلمانی نشان داده است درحالی که بی­نهایت عدد گنگ و گویا وجود دارند؛ تعداد اعداد گنگ از اعداد گویا بیشتر است.

اعداد گنگ و رشد گیاهان: ردیابی شاخکهای میوۀ کاج نشان می­دهد، آنها یکی یکی از قسمت پایینی اضافه می­شوند. زاویۀ بین یک شاخک با دیگری، همیشه یکسان است! این فرض معقول است که معمولا موثرترین فشردگی زمانی اتفاق بیفتد که این زاویه تا آنجا که ممکن است عددی گنگ باشد. به همین خاطر است که در طبیعت زاویه­های گنگ فراوان دیده می­شود.

 

 

/ 0 نظر / 47 بازدید